役員の任務懈怠責任とは何ですか。

「役員」すなわち理事、監事は、その「任務を怠ったとき」は、組合に対する損害賠償責任を負います。

組合と役員の関係は委任に関する規定に従うこととされていますので、役員は組合に対して、善良なる管理者の注意をもって職務を執行する義務（善管注意義務）を負っています。（法第34条、民法第644条）
加えて、理事は、組合のために忠実にその職務を遂行する義務（忠実義務）を負っています。（法第38条1項）。理事は理事会を組織し、総会での議決事項を前提に、その個別具体的な業務執行について決定すること等を任務としており、理事個人としての職責や、また、理事会の構成員として代表理事の執行を監視する職責を担っています。
これらの義務に反して、役員が任務を怠り、任務を怠ったことによって組合に損害が生じた場合は、理事は組合に対する損害賠償責任（任務懈怠責任）を負います。（法第45条1項）